A importância de Unidades Físicas

Título: The Analytical Theory of Heat

Autores: Joseph Fourier (traduzido para o inglês por Alexander Freeman)

Status: publicado em 1822 (a tradução para o inglês foi publicada em 1878) [acesso aberto]

Hoje, em vez de abordar um artigo recente de astronomia, o Astropontos aborda um livro quase bicentenário, com mais de 400 páginas, sobre difusão térmica. Duzentos anos ainda é bem recente comparado com a idade do Universo, e livros são impressos em papel assim como artigos, então ainda podemos dizer que esta discussão está no lugar certo.

Além disso, o objetivo do Astropontos é discutir avanços importantes na astronomia, e este livro é crucial nesse sentido. Foi o primeiro grande trabalho de Joseph Fourier, que fez diversas contribuições importantes para a matemática, a física e até mesmo a egiptologia, sendo um dos encarregados da Description de l’Égypte. No capítulo 4 de The Analytical Theory of Heat, Fourier escreveu a famosa equação do calor, que ainda é a primeira equação diferencial parcial que a maioria dos físicos aprende a resolver. No capítulo 3, ele define o que hoje conhecemos, não por coincidência, como série de Fourier, que é usada por astrônomos para estudar sinais com variabilidade periódica, como estrelas pulsantes ou que abrigam exoplanetas.

Figura 1: os matemáticos Adrien-Marie Legendre (esquerda) e Joseph Fourier (direita). Parece que Legendre, que trabalhava com equações em coordenadas esféricas, tinha inveja da cabeça perfeitamente esférica de Fourier. Retrato feito pelo artista francês Julien-Leopold Boilly, parte de Album de 73 Portraits-Charge Aquarelle’s des Membres de I’Institute.

Aqui vamos nos focar apenas em um pequeno pedacinho do capítulo 2. São quatro páginas, apresentando uma ideia tão simples que é difícil acreditar que alguém teve que de fato escrever sobre ela. Apesar de simples, essa ideia é fundamental para física:

“Deve-se agora notar que toda grandeza indeterminada ou constante têm uma dimensão adequada para si, e que os termos de uma equação não poderiam ser comparados se eles não tivessem a mesma dimensão.”

Essa ideia é a conexão entre a física e o universo que ela busca explicar. Físicos usam equações matemáticas para descrever o comportamento de elétrons a estrelas, mas os termos dessas equações tem de representar algo – eles devem corresponder à realidade que podemos medir, fotografar e pesar. Isso significa que toda quantidade física, toda medida que rotulamos com um símbolo e colocamos em uma equação, tem dimensão. Um carro não viaja a “80”, mas a “80 quilômetros por hora“; um dia não dura “24”, mas “24 horas“, e assim por diante.

Já que toda quantidade tem uma dimensão, claro que só faz sentido comparar quantidades com uma mesma dimensão. As unidades dos lados direito e esquerdo da sua equação devem, portanto, ser correspondentes. Você pode comparar comprimentos com comprimentos – 1 quilômetros são 0.62 milhas – mas não pode comparar comprimentos com tempos, ou massas, ou temperaturas.

Essa ideia de Fourier, que hoje é conhecida como análise dimensional, parece bastante óbvia, mas é incrivelmente poderosa. Como muitos estudantes de vestibular podem comprovar, muitas vezes é possível descobrir a resposta para uma questão apenas estudando que unidades físicas ela deveria ter. Por exemplo, digamos que o centro de uma galáxia variou em brilho dramaticamente em t segundos, mas ela está muito distante para que seu centro seja visto com resolução, então você não sabe seu tamanho. A resposta que você está procurando tem unidades de comprimento, então você pode multiplicar sua escala de tempo t pela velocidade da luz, que tem unidades de comprimento por tempo e voi-là: o comprimento máximo que a luz poderia ter viajado no tempo t, e portanto o comprimento máximo desse centro galáctico misterioso – afinal, se ele fosse maior, não seria possível observar a variação nesse curto período de tempo.

Análise dimensional também implica que as leis físicas são válidas independente de como nós humanos escolhemos medir algo. Podemos usar quilogramas quando pesando um saco de feijão, e massas solares quando se trata de uma galáxia, mas a gravidade vale nos dois casos. O comportamento do Universo expresso em equações permanece o mesmo independente das nossas escolhas arbitrárias!


Adaptado de The Measure of Things, escrito por Emily Sandford

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